Introduzione



Cos'è il Momento d'inerzia di un sistema meccanico discreto o continuo?

Per capire dal punto di vista concettuale, partiamo chiarendo o ricordando gli effetti prodotti dalla massa di un corpo sul suo moto.
Immaginiamo quindi un oggetto, puntiforme o meno, e dotato di massa, in moto in uno spazio euclideo privo di interazioni con altri oggetti.
Esso, per il Primo principio della meccanica, Rimane in quiete o moto rettilineo uniforme, fino a che non intervenga una azione esterna a modificarne lo stato

Immaginiamo che agisca su di esso, da un certo istante, una forza; il risultato è, come sappiamo, l'insorgere di una accelerazione a che fa aumentare istante per istante la velocità v, e sappiamo dal 2° Principio della dinamica che l'accelerazione è data da a  =  F m , il che significa che, a parità di forza applicata, l'accelerazione sarà tanto minore quanto più grande è la massa del corpo.
Dunque la massa si oppone alla variazione del moto, variazione che s'identifica con l'accelerazione; e quindi per questo si parla di massa inerziale che cioè manifesta i suoi effetti in termini di inerzia oppositiva alla variazione del moto.
Questo per quanto riguarda i moti rettilinei o traslatori.
Nei moti rotazionali alla massa occorre sostituire una grandezza derivata più complessa, ma concettualmente equivalente, che è appunto il Momento d'inerzia.


Definizione del Momento d'Inerzia in relazione al tipo di oggetto in moto rotatorio



Nel caso di rotazione di un punto materiale cioè di una massa puntiforme, il momento d'inerzia è semplicemente   I = m r2.

Esso rappresenta, come già accennato, l'inerzia che presenta l'oggetto alla variazione del suo moto rotatorio.

Più grande è il momento d'inerzia e più grande sarà l'opposizione ad una variazione del suo moto rotatorio; per aumentare il momento d'inerzia connesso al punto materiale in rotazione, si potrà agire in due modi diversi, contrariamente al caso traslatorio, e cioè aumentando la massa m del punto materiale, con il che si otterrà un aumento lineare, oppure aumentando il raggio r della traiettoria di rotazione, al che l'aumento sarà quadratico, dipendendo da r2.

Per esemplificare, questo significa che se raddoppia la massa m, il momento raddoppia; se invece raddoppia il raggio r, il momento quadruplica.


Se invece si tratta di tanti punti materiali, posti a distanze diverse dall'asse di rotazione, il momento d'inerzia complessivo è dato dalla sommatoria dei momenti d'inerzia dei singoli punti materiali, quindi

I  =  Σi mi ri2
Per finire, nel caso di un corpo rigido si deve considerare la sua parte puntiforme che è quella corrispondente ad un cubetto infinitesimo di volume dV, che si trova a distanza r dall'asse di rotazione e avente una densità ρ, per cui si può scrivere

dI  =  r2 dm  =  r2 ρ dV

essendo   dm = ρ dV, e il momento d'inerzia totale si trova integrando su tutto il volume   I  =ρ r2 dV  =  ρr2 dV  

nel caso, ultimo passaggio, valido per solido omogeneo, caratterizzato da densità costante (il caso tipico).

Nel prosieguo si dovranno risolvere degli integrali per i quali sarà necessario utilizzare l'integrazione di una potenza, cioè rn dr  =d ( rn+1 n+1 )   e allora vediamo come si dimostra la formula precedente, facendo ricorso al limite del rapporto incrementale (definizione di derivata) per una potenza  xn; per definizione di derivata si ha

lim h → 0   (x + h)n - xn h   dove occorre sviluppare   (x + h)n con la formula del binomio di Newton, vale a dire con lo sviluppo della somma di potenze, utilizzando i coefficienti binomiali
(x + h)n  =  ( n 0 )·xn·h0 + ( n 1 )·xn-1·h1 + ( n 2 )·xn-2·h2 + ... + ( n n-1 )·x1·hn-1 + ( n n )·x0·hn  =  xn + ( n 1 )·xn-1·h1 + ( n 2 )·xn-2·h2 + ... + ( n n-1 )·x1·hn-1 + ( n n )·x0·hn   dove
( n 0 )  =  1  e   ( n 1 )  =  n   per cui al numeratore ci sono due termini   xn  di segno opposto che si annullano; quindi al numeratore resta l'espressione
n·xn-1·h1 + ( n 2 )·xn-2·h2 + ... + ( n n-1 )·x1·hn-1 + ( n n )·x0·hn   che si può scrivere come n xn-1·h + Σi,jxi hj e quindi il limite del rapporto incrementale si può scrivere
lim h → 0   n xn-1·h + Σi,jxi hj h     →     lim h → 0   (n xn-1 + Σi,jxi hj-1)  =  n xn-1 dal momento che tutti gli   hj-1 → 0 per h → 0,   essendo j - 1 > 0, azzerando tutti i termini, eccetto il primo.
E questo significa che si può scrivere   →   xn dx  =  d( xn+1 n+1 )     che è il risultato dell'integrazione, operazione inversa, rispetto alla derivazione.

A questo punto cominciamo a determinare il momento d'inerzia in vari casi di configurazione del corpo rigido e corrispondente ad assi di rotazione diversi


Momento d'inerzia di un filo rettilineo inestensibile di lunghezza l  con asse di rotazione perpendicolare passante per il suo baricentro


In questo caso la densità del filo è da considerare come densità lineare δ dal momento che il filo ha sezione trasversale trascurabile
ovviamente, come già detto, il momento d'inerzia corrispondente all'elemento infinitesimo di lunghezza di massa dm è   dI = r2 dm, dove naturalmente dm = δ dr e quindi dI = δ r2 dr, per cui, integrando, otteniamo

I =  dI     =   =  =   δ 3 · [(l 2 )3 - (- l 2 )3]  =  δ 3 · (l 3 8 + l 3 8 )  =  1 12 m l 2

dove giova osservare che m = δ l



Momento d'inerzia di un filo rettilineo inestensibile di lunghezza l  con asse di rotazione perpendicolare passante per una estremità


Tutto va come nel caso precedente, cambiano solo gli estremi d'integrazione che sono evidentemente quelli dell'intervallo [0, l ]   e quindi si può scrivere
dI  =  r2 dm  =  r2 d(δ r)  =  δ r2 dr  =  δ d (r3 3 )     →     I  =  δ r3 3 ] l 0  =  δ l 3 3  =  1 3 m l 2

Da qui si vede che il momento d'inerzia dipende anche da come è posizionato l'asse di rotazione.



Momento d'inerzia di un filo circolare piano, chiuso, inestensibile di raggio r con asse di rotazione perpendicolare e passante per il centro


La densità è sempre lineare δ, la formula relativa all'elemento infinitesimo è   dI  =  r2 dm  =  r2 δ dl   e quindi si
I  =   =  2πr δ r2  =  m r2   essendo   m = 2πrδ



Momento d'inerzia di un disco circolare piano di raggio R con asse di rotazione perpendicolare e passante per il centro


La densità σ è superficiale, e il disco si può immaginare diviso in anelli concentrici di superficie infinitesima dS = 2πr dr, di massa dm = σ dS  =  σ 2πr dr  
per cui l'integrale del momento d'inerzia si può scrivere

I  = r2 dm  =  r2 σ dS  =  r2 σ 2πr dr  =  2πσr3 dr  =  2πσ dr4 4    =  σ(π R2) R2 2  =  σ S R2 2  =  1 2 m R2



Momento d'inerzia di un cilindro di raggio R, altezza h e spessore trascurabile con asse di rotazione coincidente con l'asse del cilindro


Sia σ la densità superficiale, allora dm = σ dS = σ h dl, dove dl è l'elemento infinitesimo di lunghezza come in figura a sinistra, con l'asse di rotazione coincidente con quello di simmetria.
Di conseguenza si ha
I  =R2dm  = R2σhdl  =  σ2πRh R2  =  m R2      

dove   S = 2πRh   è la superficie laterale del cilindro, e quindi si può scrivere anche   m = σS.
Se invece l'asse di rotazione è parallelo, ma non coincide con quello di simmetria, allora vale il

Teorema di Huyghens-Steiner o Teorema degli Assi Paralleli

grazie al quale si sa che, se I è il momento quando gli assi coincidono, il totale indicato con Id quando i due assi sono a distanza d tra loro, è dato da
Id  =  I + md2   cioè in questo caso   Id  =  mR2 + mR2  =  2 mR2     poichè   d  =  R



Momento d'inerzia di una sfera piena di raggio R, massa M e asse di rotazione passante per il centro


Per determinare il momento d'inerzia di una sfera piena, rotante attorno ad un suo diametro, basta immaginarla suddivisa in dischi di spessore infinitesimo dx e di raggio r variabile con  0 ≤ r ≤ R  e tale che  r  =  √R2 - x2  dove  x  =  OF.

Applicando la formula del momento d'inerzia di un disco pieno vista in precedenza, con l'avvertenza che ha spessore infinitesimo, si può scrivere

dI  =  1 2 r2 dm  =  1 2 r2 ρ π r2 dx  =  1 2 ρ π r4 dx  =  1 2 ρ π (√R2 - x2)4 dx  =  1 2 ρ π (R2 - x2)2 dx  =  1 2 ρ π (R4 + x4 - 2 R2 x2) dx

E a questo punto si tratta di integrare un trinomio biquadratico (di quarto grado) che, come tutti i polinomi è d'integrazione banale

I  =  1 2 ρ π(R4 + x4 - 2 R2 x2) dx     →     2I ρπ  =  R4 dx  + x4 dx  -  2 R2x2 dx   =   R5  +d (x5 5 )   -   2R2d (x3 3 )
e, dal momento che, come detto prima, 0 ≤ x ≤ R, cioè gli estremi d'integrazione, si ottiene

2I ρπ  =  R5   +   R5 5  -  2 3 R5  =  8 15 R5     →     I  =  ρ π 4 15 R5  =  1 5 ρ ( 4 3 πR3 ) R2  =  1 5 M R2

Dove l'integrazione, così come fatta, è su una semisfera e dove M è la massa di tutta la sfera; ovviamente il risultato va moltiplicato per 2, ottenendosi infine per il momento d'inerzia

I  =  2 5 M R2



Momento d'inerzia di una lastra rettangolare di lati a, b, massa M e asse di rotazione perpendicolare ad essa e passante per il centro di massa


La risoluzione del problema conviene farla applicando quanto visto per una sbarra rotante per il centro di massa attorno ad un asse perpendicolare, cioè
I  =  1 12 m r2, introducendo delle modifiche, consistenti nel fatto che la densità è di tipo superficiale, che indichiamo con σ, poi la sbarra ha una superficie
dS  =  a dx ed il suo asse di rotazione è spostato di x rispetto a quello di simmetria, quindi va applicato il Teorema di Huyghens-Steiner.
Con ciò, il suo momento d'inerzia è dato da   dI  =  1 12 a2 dm  +  x2 dm   dove il primo termine si riferisce alla sbarra di massa infinitesima rotante attorno ad un asse coincidente con quello di simmetria, e il secondo al fatto che i due assi sono tra loro distanti di x; e, per quanto detto precedentemente,
dm  =  σ dS, di conseguenza possiamo scrivere   dI  =  ( 1 12 a2  +  x2 ) dm  =  ( 1 12 a2  +  x2 ) σ dS  =  ( 1 12 a2  +  x2 ) σ a dx dove evidentemente deve aversi   0 ≤ x ≤ b 2 , per calcolare come preferito già in altri casi, il momento d'inerzia di metà lastra.
E allora si può scrivere
I  =  σ a( 1 12 a2  +  x2 ) dx  =  1 12 σ a3 dx  +  σ ax2 dx  =  1 24 σ a3 b  +  σ ad( x3 3 )  =  1 24 σ a3 b  +  1 24 σ a b3  =  1 24 σ a b (a2  +  b2)

dove   σ a b  =  σ S  =  M   la massa della lastra; e, dal momento che l'integrazione è stata fatta su b 2 , occorre moltiplicare il risultato per 2, ottenendo in definitiva     1 12 M (a2  +  b2)